ΑΛΓΕΒΡΑ-ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ Β' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

 ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ

Στο τμήμα Β6 πραγματοποιήθηκε 2ωρη συνδιδασκαλία των άρρητων αριθμών βασισμένη σε απόσπασμα του βιβλίου του Τεύκρου Μιχαηλίδη "Μιλώντας στην Άννα για τα μαθηματικά".

Δόθηκε στα παιδιά το παρακάτω κείμενο:

Περίληψη

Όλα ξεκίνησαν όταν η οικογένεια της Άννας εγκαταστάθηκε για το καλοκαίρι δίπλα στο εξοχικό ενός παλαίµαχου µαθηµατικού. Η Άννα ήταν από εκείνα τα παιδιά που η αγαπηµένη τους λέξη είναι το «γιατί;» κι ο νέος της γείτονας αρεσκόταν όχι µόνο να απαντά στις ερωτήσεις, αλλά και να γεννά µε κάθε του απά­ντηση µια νέα ερώτηση. Ξεκίνησαν µετρώντας τους στήµονες στο άνθος του ηλιοτροπίου και προσπαθώντας να εξηγήσουν τις χαρακιές σε κάποια προϊστορικά κόκαλα. Κουβέντα στην κουβέντα, το ένα καλοκαίρι ύστερα από τ’ άλλο, οι δυο καινούριοι φίλοι διαβαίνουν ολόκληρη τη διαδροµή που ξεκινά από την πρωτόγονη αρίθµηση και την πρακτική γεωµετρία και φτάνει, περνώντας από τις διαδοχικές γενικεύσεις της έννοιας του αριθµού και τις απανωτές προκλήσεις όλο και πιο περίπλοκων σχηµάτων, στα σηµερινά ανοιχτά προβλήµατα των θεωρητικών και των εφαρµοσµένων µαθηµατικών.

Μέσα από τους διαλόγους της ανήσυχης έφηβης και του περιστασιακού της µέντορα, ο αναγνώστης θα ταξιδέψει στον µαγικό και τόσο παρεξηγηµένο κόσµο των µαθηµατικών γνωρίζοντας τόσο τη γοητεία της θεωρητικής έρευνας όσο και τις εντυπωσιακές εφαρµογές των µαθηµατικών σε κάθε πτυχή της καθηµερινότητάς µας. Κι όταν, έχοντας τελειώσει τις σπουδές της, η Άννα θα βρίσκεται πια σε αναζήτηση ενός θέµατος για το διδακτορικό της, θ’ αναλάβει η ίδια τον ρόλο του µέντορα, για να µας ξεναγήσει σε µερικές από τις περιοχές της σύγχρονης, ζωντανής µαθηµατικής έρευνας.

 

[…]

Πρωί πρωί την άλλη μέρα χτύπησε πάλι το κουδούνι μας. «Είδες τα κύματα» μου είπε; «Είναι θεόρατα. Πρώτη φορά βλέπω τόσο μεγάλα». Κοίταξα κατά τη θάλασσα. Ήταν αλήθεια στα ντουζένια της. «Έτσι θα ήταν και τη μέρα που πνίγηκε ο Ίππασος», σχολίασα.

« Ο..ποιος;»

«Ο Ίππασος. Θυμάσαι που σου είπα πως ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του πίστεψαν ότι με τους ακέραιους αριθμούς και τα κλάσματά τους μπορούσαν να μετρήσουν τα πάντα;»

«Είπες και κάτι για το πυθαγόρειο θεώρημα;»

«Το ξέρεις το πυθαγόρειο θεώρημα;»

«Έλα καημένε! Για ποιαν με πέρασες; Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών».

[…]

«Ξέρεις όμως ότι οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν το πυθαγόρειο θεώρημα χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα; Έχουν βρεθεί ένα σωρό πήλινες πινακίδες με λυμένα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το πυθαγόρειο θεώρημα».

«Και τότε γιατί το είπαν πυθαγόρειο;» ρώτησε.

«Υπάρχουν πολλές ερμηνείες. Πρώτα πρώτα αυτές οι πινακίδες ανακαλύφτηκαν και μεταφράστηκαν μόλις στις αρχές του εικοστού αιώνα, ενώ τα αρχαία ελληνικά κείμενα που αποδίδουν το θεώρημα του Πυθαγόρα δε χάθηκαν ποτέ. Έτσι οι λόγιοι του Μεσαίωνα και της Αναγέννησης αναφέρονταν  όλοι στον Πυθαγόρα, αγνοώντας την ύπαρξη αυτών των πινακίδων. Ύστερα όλες αυτές οι βαβυλωνιακές πινακίδες μαρτυρούν την πρακτική γνώση του πυθαγορείου θεωρήματος, πουθενά όμως το ίδιο το θεώρημα δε διατυπώνεται στη γενική μορφή του. Υπάρχει και η άποψη ότι στη σχολή του Πυθαγόρα δόθηκε για πρώτη φορά η απόδειξη του θεωρήματος».

Γέλασα. «Μπορεί όμως να το είπαν πυθαγόρειο γιατί ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που την πάτησε από το πυθαγόρειο θεώρημα».

«Φαντάσου ένα τετράγωνο με πλευρά ένα μέτρο. Σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, η διαγώνιος του, δ, θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση δ^{2 =} 1^{2 +} 1² , με άλλα λόγια δ^{2 =} 2. Εδώ αρχίζουν τα δύσκολα: δεν υπάρχει κανένας ακέραιος αριθμός και κανένα κλάσμα ακεραίων που να υψώνεται στη δευτέρα και να κάνει 2! Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι ακέραιοι αριθμοί και τα κλάσματά τους μπορούσαν να μετρήσουν ολόκληρο τον κόσμο και αποδείχθηκε ότι τελικά δεν μπορούσαν να μετρήσουν ούτε τη διαγώνιο ενός τετραγώνου».

«Κι αυτός ο Ίππασος που μου ανέφερες πιο πριν τι σχέση έχει;»

«Η ανακάλυψη ότι η διαγώνιος του τετραγώνου είναι «ασύμμετρος», δηλαδή ότι το μήκος της δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλασματικός αριθμός με μονάδα μέτρησης την πλευρά, έφερε μεγάλη αναστάτωση στη σχολή των Πυθαγορείων. Αυτός ο μυστηριώδης αριθμός δ, που υψωμένος στη δευτέρα έπρεπε να κάνει 2, χαρακτηρίστηκε «άλογος» (δηλαδή δεν μπορεί να παρασταθεί ως λόγος, ως κλάσμα) και «άρρητος» (δηλαδή δεν μπορεί να ειπωθεί, να ρηθεί). Ολόκληρο το φιλοσοφικό οικοδόμημα των Πυθαγορείων, που βασιζόταν στην οικουμενικότητα των ακέραιων αριθμών, κινδύνευε να καταρρεύσει. Σε ολόκληρη τη σχολή επιβλήθηκε απόλυτη μυστικότητα σχετικά με το θέμα. Άλλωστε οι Πυθαγόρειοι ήταν γενικότερα μυστικοπαθείς και δεν τους άρεσε να δημοσιοποιούνται οι ανακαλύψεις τους. Φαίνεται ότι ο Ίππασος δεν μπόρεσε να κρατήσει το στόμα του κλειστό. Διάφοροι μεταγενέστεροι συγγραφείς αναφέρουν ότι ο Ίππασος «χάθηκε σ΄ένα ναυάγιο», αφήνοντας υπαινιγμούς ότι δεν επρόκειτο για ατύχημα».

Με κοίταξε εντυπωσιασμένη. «Φόνος με κίνητρο τα μαθηματικά! Καλά αυτό δεν υπάρχει!»

[…]

«Όλους αυτούς τους αριθμούς, ρητούς και άρρητους, τους ονομάζουμε πραγματικούς αριθμούς. Μετά από μια κρίση που κράτησε σχεδόν δυο αιώνες η τάξη στον κόσμο των αριθμών έχει πλήρως αποκατασταθεί».

«Τσάμπα λοιπόν τον φάγανε τον φουκαρά τον Ίππασο».

«Αν οι μαρτυρίες σχετικά με τη δολοφονία του αληθεύουν, όντως, όπως λες, τζάμπα τον φάγανε. Η επιστημονική αλήθεια δεν κρύβεται με τέτοια μέσα. Όταν ένα μέγεθος όπως η διαγώνιος του τετραγώνου, που είναι τόσο εύκολα κατασκευάσιμο, δεν μπορεί να μετρηθεί με τους αριθμούς που διαθέτουμε, απλώς συμπληρώνουμε το σύνολο των αριθμών μας έτσι ώστε να καλύπτει όλες μας τις ανάγκες».

Πριν την ανάγνωση

Δόθηκε  στο προηγούμενο διάλειμμα σε μαθητή ένα φύλλο με πληροφορίες για τον Ίππασο και ως αφόρμηση επιλέχτηκε η μέθοδος του εκπαιδευτικού θεάτρου "Ανακριτική Καρέκλα". Οι μαθητές έκαναν ερωτήσεις  στον μαθητή-Ίππασο με σκοπό να μάθουν όσες περισσότερες πληροφορίες μπορούσαν για το πρόσωπο που είχαν μπροστά τους.

Μετά απάντησαν στα παρακάτω φύλλα εργασίας:

Μαθηματικών

      

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑΣ

 

Δραστηριότητα 1

Με βάση την περίληψη που σας δόθηκε και το απόσπασμα του βιβλίου να προσδιορίσετε τον χρόνο, τον τόπο, τα πρόσωπα της ιστορίας, το ρηματικό πρόσωπο και τον τύπο του αφηγητή.

Τόπος
Χρόνος
Πρόσωπα
Ρηματικό πρόσωπο (Γέλασα, με κοίταξε κτλ)
Τύπος αφηγητή

 

Δραστηριότητα 2

Ποιοι χρησιμοποίησαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα χίλια χρόνια πριν τον Πυθαγόρα; Ποια στοιχεία το αποδεικνύουν;

 

Δραστηριότητα 3

Πόσες ερμηνείες αναφέρονται στο απόσπασμα για το γεγονός ότι τελικά το ονομάζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα από τον Πυθαγόρα; Ποιες είναι αυτές;

 

 

Δραστηριότητα 4

Ένας από τους αφηγηματικούς τρόπους που κυριαρχεί στο κείμενο είναι ο διάλογος. Πώς τον καταλαβαίνουμε; Τι προσδίδει στο κείμενο; Να γράψετε μπροστά από τα λόγια του κάθε συνομιλητή το όνομά του.

 

 

Δραστηριότητα 5

Υποθέστε ότι είστε ο Ίππασος και γράφετε στο προσωπικό σας ημερολόγιο. Να καταγράψετε τις σκέψεις, τα συναισθήματα αλλά και τους φόβους σας αναφορικά με τη στάση των Πυθαγορείων (60 – 80 λέξεις).

ή

Να γράψετε τον διάλογο μεταξύ του Πυθαγόρα και του Ίππασου. Φανταστείτε ότι συζητούν τα δυο πρόσωπα υπερασπιζόμενα τις θέσεις τους.